為什么要把0作為一個自然數(shù)-鄭州市第一〇二高級中學

現(xiàn)在，已經(jīng)明確地把數(shù)“0”作為一個自然數(shù)看待。為什么聽了很多的解釋，大部分的解釋是把這看作一個“規(guī)定”，就是說可以把“0，1，2，…，ｎ，…”作為自然數(shù)，也可以把“1，2，…，ｎ，…”做為自然數(shù)。顯然，這樣的“解釋”是不夠的。在這兒談談我們的理解，供老師和同學參考。

    首先，應該從自然數(shù)的功能說起，自然數(shù)是人類最早用來描述周圍世界“數(shù)量關系”的概念，幾乎從一開始就具有三個基本功能，一個是幫人類來刻畫某一類“東西”的多少，用現(xiàn)代的數(shù)學語言來說就是描述一個有限集合的基數(shù)（性質）；另一個就是刻畫一類“事物”的順序， “第一”， “第二”，……，用現(xiàn)代的數(shù)學語言來說，描述一個有限集合中元素的“順序”性質。這就是說，自然數(shù)既具有用來描述集合（有限）元素多少的基數(shù)性質，又具有描述集合元素順序的序數(shù)性質?；蛘呖梢赃M一步說，自然數(shù)既是基數(shù)，又是序數(shù)?！白匀粩?shù)”的第三個基本功能是“運算功能”。自然數(shù)可以做加法運算和乘法運算。在此基礎上，隨著對運算的深入研究使得我們一步一步地建立起了有理數(shù)實數(shù)和它們的運算。

    我們知道“空集”是集合中一種最主要也是最基本的集合，也是我們在描述周圍現(xiàn)象中經(jīng)常用到的集合，在數(shù)學中更是經(jīng)常要用的。例如：所有不能表示為兩個素數(shù)之和的偶數(shù)集合是空集嗎？這就是哥德巴赫猜想。一般地說，集合常常被分為有限集合和無限集合兩類。有限集合是含有有限元素的集合。像學校中人的集合，學校中男人的集合，學校中女人的集合，學校中老師的集合和學生的集合，某個一元二次方程解的集合等等都是有限集合；無限集合是含有的元素不是有限的集合。像自然數(shù)集合、有理數(shù)集合、實數(shù)集合、復數(shù)集合等等。把“空集”作為一個有限集是很自然的。并且我們很容易理解應該用“0”來描述“空集”中含元素的多少。

    有了前面這些說明，我們就容易理解這樣一個事實：如果把“0”作為一個自然數(shù)，那么“所有自然數(shù)”就可以完整地完成刻畫“有限集合元素多少”的“任務”了。而沒有“0”的“所有自然數(shù)”總是有“缺陷”，因為沒有自然數(shù)可以表示“空集”所含元素的多少。這樣，我們從“自然數(shù)的一種基本功能”方面說明了把“0”作為自然數(shù)的好處。

    我們還必須說明另一個問題：把“0”作為自然數(shù)，是否會影響自然數(shù)的“序數(shù)功能”和“運算功能”？回答是不會的。不僅不會，還會使“自然數(shù)”的這兩功能更加“完整”。先看原來沒有“0”的自然數(shù)，我們都知道不同自然數(shù)有大小之分，8大于5，1000大于999，按這樣的大小，所有自然數(shù)構成了一個“有順序”的集合。即若自然數(shù)ｎ1大于ｎ2，ｎ2大于ｎ3，則自然數(shù)ｎ1大于ｎ3，我們稱之為“傳遞性”。另外，對于任何兩個自然數(shù)ｎ1和ｎ2，或者ｎ1大于ｎ2，或者ｎ2大于ｎ1，或者ｎ1等于ｎ2，即“三歧性”。一般地說，我們把具有傳遞性和三歧性的集合稱之為線性序集。在這里我們不想用非常規(guī)范的集合論語言敘述這些性質，這樣會增加中學老師和中學生閱讀的困難。希望對這部分內容有進一步了解的讀者可以選讀任何一本“集合論”的著作。我們很容易理解有理數(shù)集，實數(shù)集都是線性序集（按照通常的順序）。即若有理數(shù)（實數(shù)）ｒ1大于有理數(shù)（實數(shù)）ｒ2，而ｒ2大于有理數(shù)（實數(shù)）ｒ3，則ｒ1大于ｒ3（傳遞性）；另外，對任意兩個有理數(shù)（實數(shù)）ｒ1和ｒ2，則或ｒ1>ｒ2，或ｒ2>ｒ1， 或ｒ1=ｒ2（三歧性）。自然數(shù)在“順序”方面的性質，除了上述性質之外，還有一種它所具有的特殊的性質。在陳述這一基本性質之前，有必要說明一點，如我們前面所說， “自然數(shù)”具有三種基本功能，或說三種基本性質，我們在有些時候要說明這些性質之間的聯(lián)系，但有時候常常要單獨地討論一種“功能”的性質，在這種情況下，要學會“排除”其它“功能”的干擾，這樣才能較好地理解“一種功能”的“本質”。 “自然數(shù)反映順序的性質”中，最基本的性質是“自然數(shù)集合的任何一個非空的子集合中，一定有最小的數(shù)”。在不包含0的自然數(shù)集合中。例如， “所有偶數(shù)的集合”中2是最小的；在“既可被5整除又可被7整除的自然數(shù)集合”中，35是最小的。并不是所有有“順序”性質的集合都具有這種“特殊的性質”，例如：無論是有理數(shù)，還是實數(shù)，都具有“傳遞性”和“三歧性”，但是它們同樣不具有自然數(shù)所擁有的那種特殊的性質。例如區(qū)間（0，1）是有理數(shù)集合或實數(shù)集合中的非空子集，然而（0，1）中沒有最小的數(shù)存在。在這里加一句話，自然數(shù)的這種特殊性質，是一類一般的良序集合所擁有的基本性質。自然數(shù)集僅是一種特殊的良序集合，這種性質是保證數(shù)學歸納法成立的基本性質。一般讀者不必介意這些話。

    如果把“0”加入傳統(tǒng)的自然數(shù)集合，新的自然數(shù)集合{0，1，2，…，ｎ，…}依然會保持原自然數(shù)集合{1，2，…，ｎ，…}擁有的所有的“順序”性質。當然也包括那種特殊的性質。

    對自然數(shù)的運算功能：加法和乘法來說，把“0”加入傳統(tǒng)的自然數(shù)集合，不僅所有的“運算法則”依舊保持，如對加法和乘法運算都是封閉的，即新自然數(shù)集合{0，1，2，…，ｎ，…}中的任何兩個自然數(shù)都可以進行加法和乘法運算，而運算結果仍然是自然數(shù)。同時保持加法、乘法運算的結合性和交換性，以及乘法對加法的分配性。即ｎ1（ｎ2+ｎ3）=ｎ1ｎ2+ｎ1ｎ3。不僅于此，特別對加法運算來說，有了“0”這個特殊的數(shù)，加法運算變得更完整了，用一句群論的語言來說，新的自然數(shù)在加法運算下，成了有零元的加法交換半群了。

    既然“0”加盟到自然數(shù)集合中，只有好處沒有壞處，為什么我們不應該歡迎“0”作為自然數(shù)集合的一個成員呢？

    最后，我們再補充一點“集合論”方面的常識。我們都知道：無法給集合下一個確切的數(shù)學定義。在20世紀初，一大批著名的數(shù)學家從不同的角度來彌補“無法給集合下一個嚴格定義”的缺陷，他們建立了“公理集合論”，并由此得到一系列影響現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的重要結果。在這里我們不可能介紹“公理集合論”的內容，但是我們可以告訴讀者，其基本的思想就是避免“悖論”。在“公理集合論”中， “空集”是第一個被給出的“具體集合”，并由“空集”出發(fā)再由其他的一些公理構造出了所有的集合，包括自然數(shù)集合、有理數(shù)集合、實數(shù)集合、復數(shù)集合等等。而在構造出的自然數(shù)集合中，“空集”就相當于“零”。

    除了前面介紹的自然數(shù)的三種基本功能之外，所有自然數(shù)的集合是中小學生見到的一個最重要的無限集合，沒有零的自然數(shù)集合與包括零的自然數(shù)集合可以在下面的對應規(guī)則下看作是“完全一樣”的；ｎ→ｎ+1。在這個意義下他們是“同構”的。

    希望我們的老師和同學更好地理解“0是一個自然數(shù)”，這樣做是“理所當然”的，而不僅僅是人為的“規(guī)定”。這件事可以幫助我們更好地理解自然數(shù)和它的功能。也希望我們的老師和同學養(yǎng)成一個習慣，不僅知道和記住數(shù)學的“定義”和“規(guī)定”，還應該思考它們“后面”的數(shù)學含義。